|
مقدمه
حالت غیر قابل پیشبینی که در بردارندة هر دو حالت آشوب و مکانیک کوانتوم
است را در نظر بگیرید اگر این دو اعتبارشان را از دست بدهند چه اتفاقی
خواهد افتاد؟ حداکثر آشوب؟ شاید.
مدلسازی رفتار آشوبناک در مقیاس کوانتوم همواره برای فیزیکدانان و
ریاضیدانان جذاب بوده است، اما اخیراً با حرکت دانشمندان به سوی فضای نانو،
مدلسازی رفتار آشوبناک کوانتومی در مقیاس نانومتری اهمیت خاصی یافته است؛
رفتاری که عدم قطعیت را به جهان کوانتوم افزوده است.
مطالعة مکانیک کوانتوم در قرن 19 میلادی، توسط فیزیکدان فرانسوی «هنری
پوانکاره» که به دنبال یافتن معادلات حرکت سیارات حول خورشید بود، آغاز شد.
در سالهای دهة60 میلادی «ادواردلورنز» (Edward Lorenz)
دریافت [1].
امروزه دانشمندان رفتار آشوبناک را در مدارات کهکشان تا هر نوع نوسانگرها (از
فنرها تا مدارات الکترونی) دریافتهاند. اما سؤال جالب برای دانشمندان این
است که آیا درون اتمها و مولکولها نیز رفتار آشوبناک وجود دارد؟ اگر وجود
دارد چگونه باید آن را مدل کرد؟
از طریق شبیهسازی ریاضی، این ایده جهان شمول از آشوب را در قالب دنیای
عجیب کوانتومی اتمها و مولکولها، مدل میکنیم. در برخی از موارد، رفتار
آشوبناک تحت شرایطی خاص تشدید میشود. تئوریهای ریاضی و فیزیکی جدید، برای
مدلسازی این رفتار بوجود آمده است، اما با رشد مهندسی نانو و گسترش
محصولاتی نظیر نقاط کوانتوم، نانولولهها و ابزارهای ابررسانای مبتنی بر
پایة کوانتوم، این مدلها دارای چه محدودیتها و مقدوراتی هستند؟ رفتار آشوبناک را در
مجموعهای از معادلاتی که برای مطالعة شرایط جوی بکار گرفته بود، |
|
یک بازی ایدهآل سازی شده: «اسنوکر» |
|
 |
|
شکل1-یک میز بیلیارد با یک ریل
دایرهای در وسط، یک شاخص اساسی در شبیهسازی آشوب است که به نام «حساسیت
به شرایط اولیه» نامیده میشود |
|
سیستمهای با رفتار آشوبناک، (یک کلاس پیچیده از آنچه
به نام سیستمهای دینامیکی نامیده میشود) اغلب درک مستقیم را به چالش می
کشند؛ اما به هر حال مطالعات، اغلب با یک مثال ساده نظیر «ذره در یک
جعبه»شروع میشوند.
یک میز بیلیارد با یک ریل دایرهای در وسط، یک شاخص اساسی در شبیهسازی
آشوب است که به نام «حساسیت به شرایط اولیه» نامیده میشود [10]. به عبارت
دیگر، تفاوتهای بسیار کوچک در شرایط اولیه در اینجا موقعیت شروع یک
توپ خروجیهای متفاوتی را در بر خواهد داشت. این آن چیزی بود که «پوانکاره»
در تحلیل معادلات مفسر حرکت سیارات دریافت.
همچنین به صورت دیگرشکل مرزهای خارجی میز استادیوم مانند، رفتار آشوبناک
بوجود میآورد. این مثال، مانیفست آشوب را در حوزة کوانتوم روشن میکند.
پیگیری موقعیت ذره:
با کمی اغراق در مثال بیلیارد، با یک یا ریلهای بیشتر، مشاهدهگر میتوانند
مسیر توپ را نگه دارد و آن را ثبت و مدلسازی کند. ریاضیدانان و فیزیکدانان
با الهام از کار «ایزاک نیوتون» با متغیرهای دوگانه- موقعیت و مقدار حرکت-
فعالیتهای ذرات زیر اتمی را تفسیر میکنند. به بیان دیگر، ذره نظیر پاندول
نیوتن، بوسیله موقعیت آن در فضا و مقدار مومنتوم آن تعیین میشود. پلات
کردن این متغیرها یعنی مومنتوم در برابر موقعیت، < را خلق میکند.
[3]
از دیدگاه ریاضی، «فضای فازی» چندین مسأله را حل میکند:
• تکنیکی است برای پیگیری و رفتارشناسی فعالیتهای یک الکترون. زیرا فضای
فازی، تصورات شما را دگرگون میکند.
• در فضای 3 بعدی، تفسیر یک ذره، یک فضای فازی 6 مؤلفهای پدید میآورد اما
سؤال اساسی این است که چگونه میتوان یک پلات مبتنی بر 4 مؤلفه یا بیشتر را
پدید آورد؟ در مثال فوق، توپ بیلیارد به فضای 2 بعدی با 4 مؤلفه برای تفسیر
محدود شده است. اما یک فضای 4 بعدی را چگونه میتوان پلات کرد؟
خوشبختانه، یک کامپیوتر میتواند در 4 بعد تصویرسازی کند (یا حتی بیشتر).
دادههای «موقعیت» و «مومنتم» به برنامه داده میشود و آنگاه کامپیوتر دادهها
را در قالب معادلات آماری جهت پیگیری و تجسم حرکت ذره شبیهسازی میکند. هر
برش از این گراف به نام «مقطع پوانکاره» نامیده میشود این مقاطع، تفسیر
کنندة وجوه مختلف حرکت ذره، در زمانهای مختلف خواهد بود.
اگر «طرح پوانکاره» شامل خطوط پیوسته منحنی بودن خطوط مشکلی ایجاد
نمیکند بود، مسأله آشوبناک نمیباشد اما اگر «طرح پوانکاره» مشتمل بر یک
سری نقاط تصادفی شد، سیستم آشوبناک است. بنابراین آشوبناک بودن یک سیستم را
به صورت زیر میتوانیم تحقیق کنیم:
1- توصیف آن به کمک معادلات ریاضی
2- جمع آوری دادههایی مبتنی بر موقعیت و مومنتم بر حسب زمان
3- ساخت «طرح پوانکاره»
«طرح پوانکاره»، رفتار آشوبناک» را از رفتار غیرآشوبناک متمایز میکند.[4]
|
|
 |
|
شکل2-مقاطع پوانکاره رفتارتوصیفگررفتار
آشوبناک می باشند[7] |
|
نگه داشتن ذره در یک جعبه:
با استفاده از ابزارهای گفته شده در بالا، میتوانیم فضای آشوب را نمایش
دهیم. یک جعبه اسنوکر سه بادی کروی را مجسم کنید و یک ذره را بجای توپ
بیلیارد تصور کنید. این مدل به نام (quantum billiard) خوانده میشود. این
سیستم را میتوانیم به منظور توضیح حرکت الکترون و تصادف آنها با دیوارههای
حصارکرویشان، شبیه سازی کنیم. |
|
 |
|
شکل3-ذره به دام افتاده در یک کره،
مدلی ساده از رفتار آشوبناک است[7] |
|
فرض کنید این سیستم در حوزة کوانتوم قرار میگیرد، این
ذره با یک معادله از حوزة کوانتوم مکانیک موسوم به معادلة شرودینگر توصیف
میشود.[6] این معادله توصیفگر جلوههایی از مکانیک کوانتوم است؛ به عنوان
مثال اصل عدم قطعیت «هایزنبرگ» بیان میکند که نمیتوان موقعیت مومنتم یک
ذره را از طریق شبیهسازی تعیین کرد. به بیان صحیح تر با دانستن موقعیت ذره،
با دقت کمتری میتوان مومنتم آن را تعیین کرد.
معادلة شرودینگر این اصول را با هم متحد میکند.[8]
بعلاوه، در فضای کوانتوم، اشیاء به نمایش گذارنده شاخصهایی از ذره و موج
هستند. آنچه که به عنوان همزاد بودن ذره موج نامیده میشود. در حقیقت
یک حل از معادلة شرودینگر به نام «تابع موج» نامیده میشود بنابراین
تصور «ذره محصور در کره» بصورت اغراق آمیزی به عنوان انعکاس رفت و برگشتی
موج در فضای کروی، مطرح است و نیازی به اضافه کردن معادلة دیگری به منظور
توصیف کره نیستیم. در حقیقت، معادلة شرودینگر تعریف شده به گونهای که تابع
موج را میسازد، توصیفگر حرکت ذره مستقل از کره است.
این توابع موجی به عنوان المانهای اساسی در درک رفتار«ذره در کره» هستند.
در مثال «میز بیلیارد» رفتار آشوب را میتوانیم بوسیلة عوض کردن موقعیت
نقطة شروع توپ و تعقیب مسیر توپ ببینیم، اما در اینجا، بجای عوض کردن
موقعیت اولیه، با اضافه کردن مد نرمال دوم، با یک فرکانس متفاوت از فرکانس
اولیه، جواب کامل معادلة «معادلة شرودینگر» را بدست آوریم.
با قرار دادن یک سری بین نهایت از مدهای نرمال شده، متمایز شده بوسیلة
انرژی و ژئومتری (هندسه) ، قادر به شبیهسازی خواهیم بود اما بهر حال،
فقط دو مد در تابع موج کافی است. پس از انجام دادن آن، به فرم یک معادله
معلوم در میآید که آشوب ساز نمیباشد، یعنی آشوب در یک ذره که در یک کرة
ساکن است رخ نمیدهد.تاکنون هنوز آشوب را مدل نکردهایم.
• اضافه کردن اغراق بیشتر به بازی بیلیارد:
مثال گذشتة کوانتوم بیلیارد را در نظر بگیرید با کمی پیچیدگی بیشتر، مرزهای
کره در داخل و خارج ارتعاش میکنند. در این سناریو، زمانی که یک ذره اصابت
میکند به دیوارة مرتعش کره، نتایج بستگی به حالات حصار و ذره دارد. این
مثال کمی کار بیشتری میبرد: اما لازم است که پیچیده باشد تا آشوب کوانتومی
را شبیهسازی کند.
معادلة شرودینگر برای ذره باید نوشته شود، اما این دفعه باید شامل معادلهای
برای ارتعاش مرزها نیز باشد، در این شبیهسازی، فعالیت ذره بسته به خواص
آن و خواص حصار آن در قالب یک معادله کوانتوم مکانیک میبایستی حل
شود. به عبارت دیگر، مثال ذره در یک کره مرتعش، ما را به سوی فضائی میان
جهان کوانتوم و کلاسیک هدایت میکند. جهت ادغام معادلة شرودینگر فضای
کوانتوم و معادلة مکانیک کلاسیک برای حصار (کره) کمیتی موسوم به
Hamiltonian تعریف میشود.
این هامیلتونی، نقش «انرژی انباشت شده» را بازی میکند و مولد یک معادلة
دیفرانسیل معمولی برای این شبیهسازی است.
همانند قبل، این معادله با قرار دادن دو مد نرمال، تست میشود سپس رفتار
این سیستم بیلیاردی توسط همیلتونی تفسیر میشود، بعد از هر اجراءبرنامه،
شرایط اولیه را عوض میکنیم:
با استفاده از یک مقدار اولیه متفاوت، به ازاء زمان و تغییر دادن شعاع.
دادههای منتجه از هر شبیهسازی در قالب یک مقطع پوانکارهای نمایش داده میشود.
در این شبیهسازی که هم رفتار حصار (کره) و ذره محاط شده در آن توضیح داده
میشود، «طرح پوانکاره» را برای هر مؤلفه از سیستم، بوجود میآوریم. این
شبیهسازی ریاضی آشکار کننده آشوب در اشکال متنوع است. به عنوان مثال،
تعدادی از طرحهای پوانکاره، وابسته به متغیرهای کلاسیک، وابسته به شعاع
حصار و مومنتوم آن، نمایش دهنده نقاط رنگی دایرهای شکل خواهند بود با خطوط
ناپیوسته که بیانگر پدیده شناسی آشوب است.
سایر نقشهای پوانکاره، نشانگر نظم یافتگی بیشتری نسبت به آشوب، در حوزة
متغیرهای کلاسیک هستند. به عبارت دیگر، متغیرهای کوانتمی، شاخصهای آشوب را
در طرحهای پوانکاره نشان میدهند. این نوع از سیستم، که در آن مؤلفههای
کوانتومی و کلاسیک هر دو دارای رفتار آشوبناک هستند، به نام آشوب شبه
کوانتومی خوانده میشود.
حرکت آشوبناک کلاسیکی شعاعی، به نام موج آشوب ،در مودهای نرمال شده ارتعاش
کروی شعاعی بیلیارد خوانده میشود. به بیان دیگر، آشوب در موجهای قوی درون
کره رخ میدهد زیرا این موجها بستگی به شعاع کره دارند، اگر شعاع متضمن
آشوب باشد، امواج نیز آشوبناک است.
|
|
 |
|
شکل4-نمونه ای از یک مقطع
پوانکاره مربوط به ذره به دام افتاده در کره مرتعش |
|
آشوب در مقیاسهای کوچک:
تکنیکهای استفاده شده در حوزة مطالعاتی آشوب کوانتومی به منظور شبیهسازی
محدودة وسیعی از پدیدهشناسی در حوزة اتمی به کار گرفته میشود. این شبیهسازی
در بهبود درک رفتاری ما از سیستمهای نانوئی و کنترل آنها، مؤثر است.
با احتساب برخی از ملاحظات، این شبیهسازیها درحوزة «نقطه کوانتوم» قابل
کاربرد است.« نقطه کوانتوم»، سازهای نانوئی است که در نیم رساناها نظیر «ایندیم
آرسنیک» ، «گالیم آرسنیک» یا «سیلیکون» یا یک فلز بکار گرفته میشود. سازه
میبایستی به قدری کوچک باشد که فقط نردبانی برای تعداد کمی الکترون باشد.
اگر چه ارتعاش کوانتوم بیلیاردها برای مطالعة نقاط کوانتوم مفید است، این
سازهها بصورت معمول بوسیلة کوانتوم بیلیاردها با مرزیهای ایستا مطالعه میشود.
زمانی که شکل آنها نامنظم است، نظیر بیلیارد استادیوم شکل کلاسیک و سینی
بیلیاردی که در بالا توضیح داده شد، شکل دیگری از آشوب کوانتمی که به نام «آشوب
کوانتیده» نامیده میشود که در بردارندة اثر کوانتوم آشوب کلاسیک است،یک
نقطة کوانتوم به عنوان یک ذره،یا به عنوان تعدادی ذره در قالب یک جعبه، مدل
میشود.
یک درک بهتر از این رفتار، قابلیت بهبود رفتار نقاط کوانتمی به عنوان سوئیچ
کنندههای دودوئی است[11] بعلاوه، اساس آشوب در مقیاس کوانتوم، ممکن است
سرانجام به عنوان بهبود دهندة سوئیچهای قراردادی یا به عنوان ترانزیستورها،
به ویژة ترانزیستورهای غیر متعارف، مورد استفاده قرار گیرد. مثلاً اخیراً «هونگکام
پارک»(Hongkum Park)و دانشجویانش در آزمایشگاه ملی لورنس برکلی، موفق به
ساخت یک ترانزیستور«یونی مولیکولار»((Unimolecular از طریق اتصال یک «باکی
بال» به الکترودهای طلا شدهاند. (باکی بال، شبیه توپ فوتبال است که متشکل
از 60 اتم کربن به قطر تقریبی یک نانومتر است)
گروه پارک، ارتعاش این نانو ترانزیستورها را مورد مطالعه قرار دادند به
گونهای که فقط یک الکترون در یک زمان مشخص میتواند جریان یابد. یک باکی
بال را میان دو الکترود تصور کنید، باکی بال به عنوان «الکترون
هاب»(electron hop) پرش میکند. "On "و" Off "کردن مولکول را بر عهده دارد.
به منظور ساده سازی موضوع، باکی بال را به عنوان یک کره در نظر بگیرید که
سیستمی مشابه آنجه بحث شد، بوجود میآورد. اگر چه کره در این سیستم،
بجای«پالسینگ»((Pulsing، عمل«بانسینگ»( bouncing )را انجام میدهد. تفاوت
میان این سیستم و آنچه پیش از این بحث شد، در تفاوت همیلتونی ها است. اما
هنوز مؤلفههای کلاسیک و کوانتوم مکانیک برقرارند.
حال هندسة واقعی باکی بال را فرض کنید که به آن پیچیدگیهای دیگری اضافه میشود. |
|
 |
|
شکل5- ترانزیستور یونی
مولیکولاررفتارآشوبناک شبه کوانتمی را در دو حوزه کلاسیک و کوانتوم به
نمایش می گذارد |
|
تکنیکهای آشوب کوانتوم، در حوزة نانوتیوبها هم میتوانند
واردشوند. درست مشابه باکی بال، با تکرار همان الگو، با فرض یک تیوب بجای
یک توپ. این تیوبها میتوانند در ابعاد میکرومتری یا میلی متری یا نانو
متری باشد. و در طول و در قطر میتوانند ارتعاش کنند، درست شبیه کره فرضی
ما در شبیهسازی.
نانو تیوب ها همچنین میتوانند شبیه یک سیم گیتار ارتعاش کنند. همه سیم
گیتار مرتعش میشود و در عین حال شکل اولیهاش را حفظ میکنند، مدلسازی
ارتعاشی این نانو تیوب ها در حوزة نانویی با دخالت دادن مؤلفههای فوق، در
حوزة آشوب هنوز چالش برانگیز است[12]. بااین وجود، میدانیم این نانو تیوب«
جعبه قرصی مانند»، اساساً یک سیلندر با شکل فنجانی در دو انتهایش است که میتواند
رفتار آشوبناک را برای یک الکترون در دام افتاده بوجود آورد. بعلاوه انتظار
داریم که با استفاده از کوانتوم بیلیارد، دانش درک رفتاری این سازه های
نانویی شیپورمانند، را بالا ببریم. |
|
 |
|
شکل6-رفتارآشوبناک نانولولۀ
کربنی[13] |
|
نمونه دیگری از آشوب شبه کوانتومی، در ابزارهای ابر
رسانای مبتنی بر رابط کوانتومی است. برای ساخت این مواد نیازمند یک ابر
رسانا هستیم . یک SQUID مشتمل بر یک شی دایروی یا مربع شکل است. ابر رسانا
بوسیلة یک نوسانگر الکترونی تحریک میشود. زمانی که SQUID در یک میدان
مغناطیسی قرار میگیرد، ولتاژ عوض میشود و عوض شدن ولتاژ، ابزاری جهت
اندازهگیری میدان مغناطیسی است.
«جوزف دیگینز»(Joseph Diggins)، و دانشجویانش در دانشگاه Sussex
، حرکت
الکترون در رینگ ابررسانا را با استفاده از مکانیک کوانتوم مدل کردهاند و
رفتار آشوبناک را در سیستمهای نانوئی رصد کردهاند. به هر حال درک بهتری
از رفتار شناسی سازههای نانوئی، طراحان سازههای نانوئی را در تسلط بر
ابزارهای نانوئی، کمک خواهد کرد. |
تبلیغات 
